O Exame Escrito de Doutorado constará de duas partes:

a) Análise;
b) Geometria/Topologia

Os programas de Análise e Geometria/Topologia, são fixados pelo PPGM e constam do catálogo das disciplinas do programa.

O aluno deverá obter aprovação no exame escrito num prazo máximo de 32 meses após a sua inscrição como aluno regular do programa.

As reprovações neste Exame, para efeito de desligamento do Programa previsto no item d) do Artigo 21 do Regimento (2017), ocorrerão quando o aluno tiver sido reprovado numa mesma parte do exame por duas vezes.

Cada uma das partes do Exame será oferecida duas vezes ao ano segundo o calendário fixado pela CPG, e para cada uma dessas partes a CPG designará uma Comissão Examinadora composta por dois membros do corpo docente para a elaboração e correção desses exames. Será aprovado o candidato que obtiver, em cada uma das partes do exame, nota igual ou superior a 7,0 (sete), numa escala de 0 (zero) a 10 (dez).

Os candidatos deverão requerer os exames por escrito, no período de inscrição determinada pela CPG.

Veja os programas do Exame escrito:

I – Análise

Análise Funcional
Ementa:

1. Os Teoremas de Hahn-Banach: forma analítica e as formas geométricas; e as relações de ortogonalidade.
2. O Princípio da Limitação Uniforme, Teorema do Gráfico Fechado, Teorema da Aplicação Aberta e introdução aos operadores lineares não limitados.
3. Topologias fracas e fracas*, espaços reflexivos, espaços separáveis e os espaços uniformemente convexos.
4. Espaços L ^p; definições e propriedades, reflexividade, separabilidade e dualidade.
5. Espaços de Hilbert: definições e propriedades, projeção sobre um conjunto convexo e fechado, espaço dual de um espaço de Hilbert, somas de Hilbert e bases ortonormais.
6. Operadores Compactos: definições e propriedades, espectro de um operador compacto e a decomposição espectral de operadores compactos auto-adjuntos.

Bibliografia recomendada:

• Brezis, H. – Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer, New York, 2011.
• Rudin, W., Functional Analysis, 2nd edition, McGraw-Hill, New York, 1991.
• Yosida, K., Functional Analysis, 2n ed, Springer-Verlag, New York Inc, New York, 1968.

Análise Real
Ementa:
Medida e integração abstratas: teoremas de convergência. Medida e integral de Lebesgue. Espaços Lp; teoremas de decomposição de medidas, teorema de Radon-Nikodyn, Teoremas de Fubini e Tonelli.

Bibliografia recomendada:

• Folland, G. – Real Analysis.
• Rudin, W. – Principles of Mathematical Analysis.
• Rudin, W. – Real and Complex Analysis.

II – Geometria-Topologia

Geometria das Variedades
Ementa:
Variedades diferenciáveis, aplicações diferenciáveis, espaço tangente, Fibrado tangente, submersões, imersões, mergulhos, subvariedades, orientação, grupos de Lie, Teorema de Sard, Campos de vetores, Distribuições, Teorema de Frobenius, formas diferenciáveis e integração.

Bibliografia recomendada:

• Boothby, W. M. – An Introduction to Differentiable Manifolds and Lie Groups
• Lee, J. M. – Introduction to smooth manifolds, (2013)
• Morita, S. – Geometry of Differential forms.
• Warner, F. – Foundations of Differentiable Lie Manifolds and Lie Groups

Topologia Algébrica
Ementa:
Noções sobre funtores entre categorias topológicas e algébricas. R-módulos e R-módulos livres gerados por um conjunto arbitrário. Rudimentos de Álgebra Homológica: complexos de cadeias, homologia e aplicações de cadeias. p-símplices nos espaços euclidianos e o functor homologia singular com coeficientes em um anel comutativo com unidade. A homologia de um ponto, a 0-ésima homologia de espaços c.p.c. e a homologia de espaços desconexos com respeito às suas componentes. Homotopia, tipo de homotopia e o Teorema de Invariância homotópica. Homologia de espaços convexos. Sequências exatas de R-módulos e o mecanismo algébrico para se produzir sequências exatas longas de homologia. O teorema da subdivisão baricêntrica e a Sequência de Mayer-Vietoris. Homologia das esferas e outros cálculos correlatos (toros generalizados, união de esferas por um ponto, etc.). O Teorema do Ponto Fixo de Brower. O grau de aplicações entre esferas. O Teorema da não existência de singularidades para campos de vetores tangentes não nulos nas esferas pares. A sequência da colagem. Homologia das superfícies fechadas bidimensionais. O Teorema de Borsuk-Ulam.

Bibliografia recomendada:

• Vick, J.M. – An Introduction to Algebraic Topology;
• Greenberg, J. – Algebraic Topology;
• Spanier, E. – Algebraic Topology;
• Wallace, A. – An introduction to Algebraic Topology.