Carga horária: 60h

Objetivos: Esta disciplina tem por finalidade nivelar os alunos interessados em ingressar (ou já selecionados) no Programa de Doutorado em Matemática da Pós-Graduação do DM-UFSCar. Ela pode também ser utilizada posteriormente (dependendo da nota atribuída ao estudante) como uma das disciplinas específicas de doutorado. É recomendada a estudantes a partir do primeiro ano de Mestrado.

Ementa: Medida e integração abstratas: teoremas de convergência. Medida e Integral de Lebesgue. Espaços L^p . Teoremas de decomposição de medidas. Teorema de Radon-Nikodym. Teorema de Fubini e Tonelli.

Bibliografia básica:

1. Bartle, R. G. Elements of integration and Lebesgue measure. New York : John Wiley & Sons,1995.

2. Folland, G. Real analysis : modern techniques and their applications. 2 ed. New York : Wiley Interscience, 1999.

3. Presoto, A. E. Teoria da Medida. Notas de aula. São Carlos: UFSCar, 2024. 

4. Royden, H. L.; Fitzpatrick, P. M. Real analysis. 4. ed. Boston : Prentice Hall, 2010.

Bibliografia complementar:

1. Bartle, R. G. The elements of real analysis. 2. ed. New York : John Wiley & Sons,1976.

2. Evans, L. C.; Gariepy, R. F. Measure theory and fine properties of functions. Revised version. Boca Raton: Chapman and Hall, 2015.

3. DiBenedetto, E. Real analysis, New York: Springer, 2002.

4. Dobb, J. L. Measure theory. New York: Springer, 1994.

5. Rudiin, W. Real and complex analysi. 3. ed. New York : McGraw – Hill, 1987.

Dias, horários e locais: 

Segunda-feira, terça-feira, quarta-feira e quinta-feira das 9h às 12h.

MAT 266 – Singularidades de Aplicações Diferenciáveis – (Nível Doutorado)
Professor Responsável: Prof. Dr. Leandro Nery de Oliveira (PPGM/UFSCar)

Carga horária: 60h

Objetivos: Esta disciplina tem por finalidade nivelar os alunos interessados em ingressar (ou já selecionados) no Programa de Doutorado em Matemática da Pós-Graduação do DM-UFSCar. Ela pode também ser utilizada posteriormente (dependendo da nota atribuída ao aluno) como uma das disciplinas específicas de doutorado. É destinada a estudantes a partir do primeiro ano de Mestrado.

Ementa: 1.Transversalidade e estabilidade: Teorema do Posto Constante, Variedade e Espaço Tangente. Transversalidade. Valores regulares e pontos críticos. Transversalidade e densidade. Jatos. Transversalidade de Thom. Singularidades de primeira ordem. Singularidades de Thom-Boardman. 2. Ações de grupos e órbitas. Ações de grupos de Lie em variedades. Lema de Mather. Codimensão e estabilidade de órbitas. Germes de funções no grupo R, a álgebra E_n dos germes de funções. 3. Grupos de Mather e germes de aplicações. Grupos C e K e seus espaços tangentes. Desdobramentos versais e estabilidade. Desdobramentos transversais. Germes A-estáveis. 4. Determinação finita. Germes de coposto um e dois em E_n. Transversal completa em E_n. Germes de coposto dois em E_n. 5. Germes do plano no plano. A-órbitas de codimensão menor ou igual a dois. Germes com 2-jato (x,xy). Germes com 2-jato (x,0). 6. Diagramas de bifurcação, discriminantes. Germes simples em E_n em em E_{n,2}, com n maior ou igual a um. 7. Invariantes. O número de Milnor. O número de Milnor do discriminante. Invariantes estáveis. Cúspides e pontos duplos. Rabos de Andorinha. Eixos cuspidais e pontos triplos. Guarda-chuvas de Whitney e pontos triplos, a curva de pontos duplos.

Bibliografia básica: 

1. Gibson, C.G.: Singular points of smooth mappings. Research Notes in Mathematics, vol. 25. Pitman (Advanced Publishing Program), Boston, 1979.

2. Mond, D., Nuño-Ballesteros, J.: Singularities of Mappings. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 357. Springer International Publishing, 2020.

3. Tari, F. Singularidades de Aplicações Diferenciáveis. São Carlos: ICMC USP, 1999. Notas Didáticas do ICMC, 34.

Bibliografia complementar:

1. Martinet, J. Singularités des fonctions et applications différentiables. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 1977.

2. Izumiya, S., Romero Fuster, M.d.C., Ruas, M.A.S., Tari, F. Differential geometry from a singularity theory viewpoint. World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., Hackensack, NJ (2016)

3. Ebeling, W. Functions of several complex variables and their singularities. Graduate Studies in Mathematics, 83. American Mathematical Society, Providence, RI, 2007.

4. Arnold, V. I. Singularity theory. Cambridge University Press, 1981.

Dias, horários e locais: 

Segunda-feira, terça-feira, quinta-feira e sexta-feira das 9h às 12h.