Waldeck Schützer
Professor Associado IV de Matemática
Dou aulas e faço pesquisa no Departamento de Matemática da Universidade Federal de São Carlos (UFSCar), em São Carlos, SP.
Trabalho com álgebra, principalmente com a estrutura e as simetrias de álgebras associativas: álgebras graduadas por grupos e suas generalizações (álgebras H-comódulo), álgebras de incidência, e identidades polinomiais como forma de distinguir álgebras. Gosto de encontrar descrições explícitas, como parametrizações, formas normais e critérios para decidir quando duas álgebras são iguais, e princípios para reduzir um problema a partes mais simples e depois colá-las de volta, em dimensão finita e infinita, inclusive sobre anéis comutativos indecomponíveis. Também trabalho com teoria de representações de álgebras e grupos, e gosto de seus aspectos combinatórios e computacionais.
Fiz graduação (1993) e mestrado (1996) no ICMC-USP e doutorado na Rutgers University (2004), com Siddhartha Sahi, sobre aspectos combinatórios da teoria de representações. Estou na UFSCar desde 1996 e fui Chefe do Departamento de Matemática de 2017 a 2019. Ultimamente tenho calculado identidades polinomiais de álgebras de matrizes por computador, com cada resultado certificado por uma cota independente. O resultado é uma base de dados aberta de identidades, polinômios centrais, identidades fracas e A-identidades em graus baixos.
Escrevo artigos com colegas e alunos. Fora da pesquisa, faço fotografias e programação criativa; minhas animações matemáticas são publicadas como @infinitymathart. Perguntas e ideias são sempre bem-vindas, então fique à vontade para escrever.
No que estou trabalhando agora
Isto é o que estou fazendo no momento.
- Cálculo certificado de identidades polinomiais Com H. L. Talpo, calculo por computador as multiplicidades das representações irredutíveis do grupo simétrico nas identidades multilineares, nos polinômios centrais, nas identidades fracas e nas \(A\)-identidades das álgebras de matrizes \(M_r(F)\), para \(r=2,\dots,6\) e graus até 31. Cada valor tem um status que diz o que está provado: exato, provável ou uma cota. Os resultados estão numa base de dados aberta, e o manuscrito está em preparação. Abrir a base de dados →
- Polinômios centrais de grau pequeno Os cálculos deram um polinômio central de grau 12 para \(M_4\), o que refuta o mínimo 13 conjecturado por Formanek, e agora um de grau 16 para \(M_5\), abaixo do 19 conjecturado. Eles sugerem um padrão que conjecturo valer para todo \(r\): a forma \((2^{2r-2})\) ocorre entre os polinômios centrais de \(M_r\) em grau \(4(r-1)\), e esse grau é o menor possível. Isso está verificado para \(r=2,3,4,5\) (a minimalidade apenas dentro dos graus armazenados). Demonstrar isso, ou achar uma construção uniforme, é o que gostaria de fazer em seguida. Ver as conjecturas →
- Limiares para multiplicidades positivas Por resultados de Bergman e de Drensky e Kasparian, a positividade das multiplicidades das identidades de \(M_r\) em todos os graus grandes se reduz a um único grau finito. O manuscrito determina esse limiar como \(5,9,14,21\) para \(r=2,3,4,5\) e o limita entre 27 e 30 para \(r=6\). Em todos os casos provados a última obstrução é uma forma com duas linhas, e conjecturo que isso sempre acontece.
- Consequências do polinômio standard Um artigo complementar estuda quais identidades de \(M_r\) em graus \(2r+1\) a \(2r+4\) decorrem do polinômio standard \(s_{2r}\). Os cálculos mostram que todas as identidades de grau 11 de \(M_4\) e de grau 13 de \(M_5\) são consequências de \(s_8\) e de \(s_{10}\), respectivamente.
- Trilhas de Euler e cocaracteres líderes Em um artigo separado, uso trilhas de Euler em grafos para descrever a parte líder dos cocaracteres das álgebras de matrizes, e mostro que as multiplicidades de formas com cauda curta fixa são quase-polinômios no comprimento da primeira linha, com períodos explícitos. Ele nasceu de padrões notados primeiro nos cálculos. Todas as publicações →
- Graduações de matrizes triangulares infinitas como álgebras não associativas Com F. Yasumura e Plamen Koshlukov, estou estudando as graduações por grupos da álgebra das matrizes triangulares superiores infinitas quando ela é vista como uma álgebra não associativa. Isto continua o meu trabalho com Yasumura no caso associativo, em que as graduações são classificadas a menos de isomorfismo graduado para um grupo arbitrário. Publicações →
- Graduações em álgebras de incidência e bimódulos graduados Com Felipe Hindi, trabalho nas graduações por grupos de álgebras de incidência, inclusive sobre anéis comutativos, e na classificação de bimódulos graduados sobre álgebras de grupo split, por meio de estabilizadores e decomposições de Peirce. Dois preprints sobre isso estão no arXiv. Publicações →
- Aplicativos de ensino e arte matemática Para a minha disciplina de cálculo numérico, escrevo pequenos aplicativos interativos que mostram os métodos em ação, em código simples. Além disso, continuo fazendo animações e shaders de partículas na GPU, publicados como @infinitymathart. Aplicativos →
Interesses de pesquisa
- Identidades polinomiais de álgebras de matrizes
- Álgebras H-comódulo, graduações por grupos e identidades graduadas
- Álgebras de incidência e generalizações
- Álgebras de Hopf e H-identidades
- Teoria de representações: caracteres de álgebras e grupos de Lie
- Combinatória algébrica: polinômios de Jack e regras de Pieri
- Representações do grupo simétrico e cocaracteres
- Álgebra assistida por computador com resultados certificados
- Arte matemática, programação criativa e fotografia
Nome em bases bibliográficas: Schützer, Waldeck; Schutzer, W.; Schützer, W.
Cargos
- 1996–Professor, Departamento de Matemática, UFSCar (dedicação exclusiva). Professor Associado IV, com efeito a partir de 10 de fevereiro de 2025.
- 2015–2016Vice-chefe do Departamento de Matemática, UFSCar
- 2017–2019Chefe do Departamento de Matemática, UFSCar
- 2019–2020Vice-chefe do Departamento de Matemática, UFSCar
- 2019–2021Membro de comissão do Departamento de Matemática, UFSCar
- 2019–2021Membro eleito do Conselho Universitário (ConsUni) da UFSCar
março de 2019 a fevereiro de 2021 - 2020Presidente da Comissão Eleitoral para Sucessão da Reitoria da UFSCar (CPE2020), por indicação
17 de junho a 7 de dezembro de 2020
Formação
- 2004Doutorado em Matemática, Rutgers, The State University of New Jersey (EUA). Orientador: Siddhartha Sahi.
Tese: On some combinatorial aspects of representation theory (bolsa CAPES). - 1996Mestrado em Matemática, ICMC-USP. Orientador: Paulo Afonso Vieira da Veiga.
Dissertação: Álgebras de Lie, Álgebras de Hopf e Grupos Quânticos (bolsa CAPES). - 1993Graduação em Matemática, ICMC-USP (Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação, Universidade de São Paulo).
Orientador do trabalho de conclusão: Marcos Nereu Arenales (problemas de corte de peças; bolsa FAPESP).
Projetos e financiamentos
- 2021–As G-graduações das álgebras triangularizáveis de dimensão infinita
Classificação das G-graduações (G arbitrário) de álgebras de matrizes triangulares superiores infinitas, a menos de isomorfismo graduado, com condições topológicas. Com Felipe Yukihide Yasumura. - 2020–A decomposição atômica de caracteres de álgebras de Lie semisimples
Quando os números atômicos de um caractere irredutível são não negativos? Com Felipe de Mattos Chafik Hindi. - 2017–Álgebras H-comódulo e suas H-identidades polinomiais
Identificar álgebras H-comódulo distinguidas por suas H-identidades. Com Abel Gomes de Oliveira. - 2016–2020Estudo computacional das identidades polinomiais de baixo grau de álgebras de matrizes
Determinação completa de identidades, A-identidades e polinômios centrais até o grau 13 para álgebras de matrizes de ordens 2 a 6. Com Humberto Luiz Talpo. Concluído; continua na base de dados de identidades. - 2004–2018Produtos de polinômios de Jack não simétricos
Descrição combinatória da expansão do produto de dois polinômios de Jack não simétricos na base de Jack. Concluído.
Orientações
- 2026Felipe de Mattos Chafik Hindi, Doutorado, UFSCar. Existence conditions of atomic numbers and a classification theorem for graded incidence algebras.
- 2022Abel Gomes de Oliveira Júnior, Doutorado, UFSCar. Álgebras H-comódulo e suas H-identidades polinomiais.
- 2018Abel Gomes de Oliveira Júnior, Mestrado, UFSCar. Álgebras de Hopf, Objetos de Galois e Identidades Polinomiais.
- 2018Felipe de Mattos Chafik Hindi, Mestrado, UFSCar. Fórmula de Pieri para os polinômios de Jack não simétricos.
- 2017Karina Branco da Cruz, Mestrado, UFSCar. Representações de Grupos e Identidades Polinomiais Graduadas.
- 2015Gonzalo Emanuel Matias Gutierrez, Mestrado, UFSCar. Estudo da nova fórmula de caracteres para representações de álgebras de Lie semisimples.
- 2014Marlon Pimenta Fonseca, Mestrado, UFSCar. Representações dos grupos simétrico e alternante e aplicações às identidades polinomiais.
- 2012Alfredo Eduardo Calderón, Mestrado, UFSCar. Álgebras de Lie e Teoria das Representações.
- 2004–2023Também 17 trabalhos de conclusão de curso e 10 projetos de iniciação científica orientados.
Ensino
- 1996–Graduação (engenharias, matemática, química): Cálculo 1–3, Cálculo Diferencial e Séries, Cálculo Numérico, Álgebra Linear, Geometria Analítica, Estruturas Algébricas, Teoria de Anéis, Introdução à Teoria de Galois, Números e Funções Reais, Equações Diferenciais.
- 2004–Pós-graduação (PPGM, UFSCar): Álgebra, Álgebras de Lie, Álgebra Comutativa, Introdução à Teoria das Representações, Representações de Álgebras de Hopf e Grupos Quânticos, Introdução à Teoria das Funções Simétricas, Tópicos de Álgebra.
- 2026Minicurso "Grupos, Representações e a Álgebra do Cubo de Rubik", IX Semana da Matemática da UFSCar (21 a 26 de setembro). Grupos de permutações, ações e representações de grupos, aplicados ao Cubo Mágico 3×3 e a uma versão em que apenas as três fatias centrais giram.
Palestras
- 2023Graduações em Álgebras de Matrizes Triangulares Superiores de Dimensão Infinita (com F. Y. Yasumura)
- 2020Álgebras de incidência e uma introdução à combinatória algébrica
- 2018On the T-ideal generated by the standard polynomial of degree n
- 2018Sobre as Consequências do Polinômio Standard (comunicação)
- 2015A-identidades da álgebra M2 sobre um corpo de característica zero (com H. L. Talpo e D. J. Gonçalves)
- 2014Álgebra com o cubo mágico
- 2006Towards the full Pieri rule for nonsymmetric Jack polynomials
Eventos organizados
- 2026XXVIII Escola de Álgebra (Brazilian Algebra Meeting), ICMC-USP, São Carlos, 29 de junho a 3 de julho: membro da comissão organizadora local
- 2015I Encontro de Álgebra e Topologia Algébrica da UFSCar (com D. J. Gonçalves, D. Vendruscolo, L. Hartmann e H. L. Talpo)
- 2010–2012Coordenador de aplicação de prova da 2ª fase da OBMEP
Participação em bancas
- 2017–2022Bancas de doutorado: Abel Gomes de Oliveira Júnior (UFSCar, 2022), Dafne Campos Lima Bessades (UFMG, 2021), Mateus Eduardo Salomão (UFSCar, 2021), Dalton Couto Silva (UFSCar, 2020), Gabriel Lopes da Rocha (USP, 2017).
- 2009–2019Bancas de mestrado (Física UFSCar, 2019; Engenharia Elétrica UNICAMP, 2009), quatro exames de qualificação de doutorado (2020–2021) e numerosas bancas de TCC.
- 2010Banca de concurso público para Professor Adjunto, UFSCar
Serviços
- 2021–Revisor de periódico: Journal of Mathematical Physics
- 2026–Revisor de periódico: Latin American Journal of Mathematics
- 2018–Assessor ad hoc da FAPESP: projetos de pesquisa e bolsas de iniciação científica, mestrado e doutorado
Perfis de pesquisa
ORCIDORCID iD
0000-0001-9098-2519Currículo LattesarXivGoogle ScholarGoogle Scholar IDKELzmVsAAAAJMathSciNetMathSciNet author ID995806zbMATH OpenResearchGateGitHubEm outras redes
Contato
Universidade Federal de São CarlosCentro de Ciências Exatas e de Tecnologia
Departamento de Matemática
Rod. Washington Luís, Km 235
13565-905 São Carlos, SP, Brasil
e-mail: waldeck@ufscar.br
Tel.: +55-16-3351-8221