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O PROBLEMA DO JOGO DOS DISCOS

Roberto Ribeiro Paterlini

Enunciado do problema

Em um plano pavimentado com quadrados de lado $l$ é lançado aleatoriamente um disco de diâmetro $d$. Qual a probabilidade de o disco, depois de pousar no plano, não intersectar e nem tangenciar os lados de quadrado algum?


Na figura, A é um evento favorável, e B e C são eventos desfavoráveis.

Observações iniciais

O Jogo dos Discos era conhecido no Século XVIII, na França, como o jogo do ladrilho, e muito apreciado pelas crianças. O naturalista e matemático Georges Louis Leclerc, Conde de Buffon, discute esse jogo em um livro publicado em 1777, juntamente com o problema da agulha. Esse foi o primeiro tratado conhecido sobre Probabilidade Geométrica.

Confira neste Hipertexto as páginas
Aula com o Problema do Jogo dos Discos
Solução experimental do Problema do Jogo dos Discos
Nota histórica sobre Buffon e o problema dos ladrilhos
Solução do Problema do Jogo dos Discos pelo método da grade

Solução do problema do jogo dos discos

Se $d\ge l$, a probabilidade de ocorrer um evento favorável é zero. Assumimos $d<l$. Construindo um quadrado de lado $l-d$ simetricamente disposto dentro do quadrado de lado $l$ (ver figura abaixo) vemos que o evento é favorável se o centro do disco cair no interior do quadrado de lado $l-d$. Sob condições ideais podemos supor que lançar o disco aleatoriamente no piso é o mesmo que lançar seu centro aleatoriamente. Assim a probabilidade $p$ do evento ser favorável é a mesma probabilidade de um ponto, lançado aleatoriamente dentro do quadrado de lado $l$, cair dentro do quadrado de lado $l-d$.


Da definição de probabilidade geométrica (confira [3] ou [4]) temos

\begin{displaymath}p= {\hbox{\'area do quadrado menor}\over \hbox{\'area do quadrado maior}}\end{displaymath}

ou

\begin{displaymath}p={(l-d)^2\over l^2}={1\over l^2}d^2-{2\over l}d+1.\end{displaymath}

Obtemos assim a função quadrática $P(d)=(1/l^2)d^2-(2/l)d+1$, e, para $0\leq d\leq l$, $P(d)$ é a probabilidade de um disco de diâmetro $d$, lançado aleatoriamente, cair inteiramente no interior de um quadrado de lado $l$. Considerando que, se $d\ge l$, é zero a probabilidade de ocorrerem eventos favoráveis, temos


Observe que $P(l)=0$. Assim nada muda no problema do jogo dos discos se passarmos a considerar como favoráveis os eventos em que o disco tangencia o lado de algum quadrado.

Apresentamos abaixo o gráfico de , em que consideramos . Observe que $d=30$ é um zero duplo de $P(d)$.


O problema inverso

Dado um plano pavimentado com quadrados de lado $l$ e dada uma probabilidade $p$, isto é, dado um número $p$ tal que $0\leq p\leq 1$, pergunta-se qual o diâmetro $d$ de um disco que, lançado aleatoriamente no piso, tem uma probabilidade $p$ de cair inteiramente dentro de algum quadrado.

Resolvendo a equação $P(d)=p$ em $d$ para $d$ tal que $0\leq d\leq l$ obtemos


Este é o diâmetro do disco que resulta em uma probabilidade $p$ para o evento favorável.

Fazendo conexões

No problema do jogo dos discos podemos considerar pavimentações de outros tipos para o piso onde serão lançados os discos, fazendo conexão com outras áreas da Matemática.

Consideremos as pavimentações chamadas mosaicos regulares do plano. Conforme vemos em [1], página 3, são pavimentações constituídas por polígonos regulares de um único tipo e satisfazendo às condições: a) quando dois polígonos se intersectam, essa interseção é um lado ou um vértice comum; b) a distribuição dos polígonos ao redor de cada vértice é sempre a mesma.

Os únicos mosaicos regulares do plano são aqueles constituídos por triângulos equiláteros, quadrados ou hexágonos regulares.

Vamos aplicar nosso jogo dos discos a esses tipos de pavimentação. O caso de mosaicos formados por quadrados já foi estudado acima. Vejamos os outros dois casos.

Suponhamos que o piso do jogo dos discos seja pavimentado com peças na forma de triângulos equiláteros de lado $l$. Lembrando que o apótema do triângulo equilátero (raio da circunferência inscrita) mede , os discos devem ter diâmetro $d$ tal que , ou , caso contrário a probabilidade é zero.

No interior do triângulo equilátero de lado $l$ dispomos um triângulo equilátero de lado t, com lados paralelos ao triângulo maior, de modo que a distância entre o lado do triângulo maior ao lado paralelo do triângulo menor seja $d/2$. Confira a figura abaixo. Podemos verificar que a relação entre $l$ e $t$ é . Lembrando que a razão entre as áreas de duas figuras semelhantes é igual à razão entre os quadrados dos lados, a probabilidade de um disco de diâmetro $d$, lançado aleatoriamente no piso, cair inteiramente dentro do triângulo de lado $l$ é




Resolvendo a equação $P(d)=p$ em $d$ temos . Como temos . Essa é a solução do jogo dos discos para o caso de o piso ser pavimentado com triângulos equiláteros.

Se o piso for pavimentado com peças na forma de hexágonos regulares de lado $l$, o lado do hexágono menor (onde deve cair o centro do disco de raio $d$) é . Então a probabilidade de um disco de diâmetro $d$, lançado aleatoriamente no piso, cair inteiramente dentro de um hexágono é


com . Resolvendo a equação $P(d)=p$ em $d$ temos . Como vem . Essa é a solução do jogo dos discos para o caso de o piso ser pavimentado com hexágonos regulares.


Outros tipos de pavimentações podem ser considerados. Podemos considerar mosaicos semi-regulares, como o que está desenhado abaixo, à esquerda. Este mosaico é obtido pela repetição de um desenho com 11 triângulos equiláteros e um hexágono regular (figura abaixo, à direita).


Se $l$ é o lado dos triângulos e do hexágono, seja $P(d)$ a probabilidade de um disco de diâmetro $d$, lançado aleatoriamente no piso, cair inteiramente dentro de um triângulo ou de um hexágono. Podemos fazer os seguintes cálculos:

Se temos


Se temos


Se o disco de diâmetro $d$ não tem chance alguma, e


Em resumo,


O problema inverso tem a seguinte solução:


Referências

[1] Alves, S. e Dalcin, M., Mosaicos do Plano. Revista do Professor de Matemática, no 40. São Paulo, Sociedade Brasileira de Matemática, 2o quadrimestre de 1999, págs. 3-12.

[2] Haruta, M. E., Flaherty, M., McGivney, J. e McGivney R. J., Coin Tossing, The Mathematics Teacher, vol. 89, no 8, novembro de 1996, págs. 642-645.

[3] Tunala, N., Determinação de Probabilidades por Métodos Geométricos. Revista do Professor de Matemática, no 20. São Paulo, Sociedade Brasileira de Matemática, 1o quadrimestre de 1992, págs. 16-22.

[4] Wagner, E., Probabilidade Geométrica. Revista do Professor de Matemática, no 34. São Paulo, Sociedade Brasileira de Matemática, 2o quadrimestre de 1997, págs. 28-35.

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Essa é uma versão mais acadêmica de um artigo publicado na Revista do Professor de Matemática, no 48, 1o quadrimestre de 2002, págs. 13-20.
Apresentado para publicação em 17/07/2002 por Roberto R. Paterlini, do DM-UFSCar. Preparado para publicação na Internet pelo autor. Parcialmente utilizado o sistema Latex2html. Confira General License Agreement and Lack of Warranty sobre condições de uso. As figuras foram construídas pelo autor.
Publicado em 26/08/2002. Atualizado em 26/08/2002.